设地球的平均半径为 R，定义地球的偏心率为

如前面介绍的那样，如果地球是密度均匀的，那么其表面形状会是严格的旋转椭球形状。在上图的截面中，选取适当的直角坐标系后，地球表面由如下椭圆方程描述：

使用直角坐标与极坐标的关系式：

可以将地球表面的椭圆方程改写成这样：

利用三角恒等式将其中的正弦函数改写成余弦，可以得到

考虑到 r>0，于是

在近球形的情况下，偏心率远小于 1，且 a≈b≈R，于是

上式中间的约等号相当于忽略了 ε 二次以上的项，只保留了 ε 一次项。因此，接下来的推导也将只保留到 ε 的一次项。将上式代入 r 的等式中，可以得到

为了后面的推导过程简洁，设 x=cosθ。接着，按展开到 ε 一次项的标准来展开上式，有

注意到上式最后一行出现了二阶勒让德多项式 P_2=(3x²-1)/2，借此可将上式改写为

请注意，整个推导过程都是在保留到 ε 一次项的要求下进行的。对于上式约等号右边第二项中的 b，它约等于地球平均半径 R，由于这一项乘有一个 ε，因此将这一项的 b 替换成 R，只会带来ε² 阶的误差，这样的误差可以被忽略，于是得到

此式还不是得到的最终结果，因为它还可以被进一步化简。由于 R 是平均半径，根据球面平均的定义，有

将前面得到的 r(x) 表达式代入上式，利用勒让德多项式的正交性，例如 P_2(x) 与 P_0(x) 正交，所以 P_2(x) 在区间 [-1,1] 上的积分为零。可以得到

这说明在式(1)中，约等号右边第一部分可以直接替换为平均半径 R，于是有

这就是地球表面方程在展开到偏心率一阶项所得到的结果。

（张朝阳推导得到地球表面方程的一阶近似表达式）

近球形旋转椭球体的外部引力势

在得到地球表面方程的一阶近似表达式之后，张朝阳开始推导此形状下的地球外部引力势。在地球外部，引力势满足方程：

考虑到旋转对称性，然后使用上一次物理课所介绍的分离变量法，可以知道外部引力势的一般解为

如果设 y_n=r*f_n，那么 y_n 满足如下方程：

它的通解为

其中，a1和a2是两个待定常数。由此得到 f_n 的通解为

对于地球外部引力势，当 r 趋向无穷时，引力势必须趋向零，因此 f_n 通解中的系数 a_1 必须等于零。由此，得到了地球外部引力势的一般形式如下：

为了求出其中的系数，考虑 θ=0 处作为“边界条件”。按照上式，借助勒让德多项式在 x=1 处的值，可知 θ=0 处的引力势为

接下来，张朝阳打算通过直接积分来求出 θ=0 处的引力势。为此，考虑如下示意图：

其中的水平直线就是旋转对称轴（也就是前面说的 θ=0 的那些位置），考虑其上到地球中心距离为 a 的点，设地球质量微元到该点的距离为 l，那么可以直接积分得到该点处的引力势：

其中，ρ 是地球密度，r 和 θ_1 是质量微元的球坐标的其中两个坐标分量。在这里，r 是积分元，a 是旋转对称轴上点到地球中心的距离，请务必区分前文已经出现过的符号 r 和 a。在上一期物理直播课中，张朝阳介绍了 l 的勒让德展开式。在这里，直接使用该结果，引力势被化为

利用前面已经得到的地球表面方程展开式：

可以得到

将其代入 ϕ(a) 的表达式中，可得

在上式中的第二行，已经做了积分换元 x=cos(θ_1)。考虑到勒让德多项式的正交关系，并且 P_0(x)=1 ，由此可知上式最后一行的积分中，只有 n=0 和 n=2 能够有非零结果，其它 n 的取值都只能得到零结果。再考虑到勒让德多项式的模方：

于是，当 n=0 时有

当 n=2 则有

将这两个结果代回 ϕ(a) 的表达式中，可得

对于目前所考虑的地球模型，是一个旋转对称的椭球体，精确的体积为 (4/3)πab²，不过可以证明的是，它与 (4/3)πR³ 的差为

由此可见，将地球体积看成是 (4/3)πR³ ，只会带来ε² 阶的误差。于是，可以将 ϕ(a) 表达式中的 (4/3)πR³ 替换成地球体积 V，并进一步将 Vρ 写成地球质量 M，由此得到

回看前面通过分离变量法，然后取 θ=0 所得到的式(2)，那里的 r 相当于这里的 a，重写下来就是

将其与式(3)对比，由于a是任取的，立即可以得到

其他 c_n 在 ε 的一阶近似下都为零。将所得系数代回 ϕ(r,θ) 的一般表达式中，可以得到

这就是张朝阳最终得到的地球外部引力势在 ε 的一阶近似下的表达式。

需要补充说明的一点是，在均匀椭球模型下，引力势有精确的闭式解。但是这并不能否认微扰法的价值，比如这里使用的方法，可以非常轻松地推广到非均匀密度的情况，而这样的情况并没有存在普遍的闭式解。

（张朝阳推导得到近球旋转椭球体的外部引力势）

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